Makalah Logika MATEMARIKA/IAIN LANGASA/LANGAS/ACEH

LOGIKA MATEMATIKA

Ditulis oleh kelompok 1

Nama                     : Jihan Nadhifah (105201800)

                                                         Nur Magfira (105201800)

                                                         Imam Nur Rahman (1052018023)

                                                         Rina Harianti (10520180)

Semester/Unit        : II/1

                        Jurusan                   : Pendidikan Guru Madrasah Ibtidaiyah (PGMI)

                        Mata kuliah            : Konsep Dasar Matematika MI/SD

                        Dosen Pengampuh : Nina Rahayu, M.Pd.

FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN

INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI LANGSA

TAHUN 2018/2019

PENGANTAR

      Segala puji hanya bagi Allah, penulis memuji, memohon pertolongan, serta meminta ampunan kepada-Nya. Penulis berlindung kepada Allah dari kejelekan diri dan keburukan amal penulis. Shalawat merangkaikan salam penulis sanjung sanjikan kepangkuan alam Baginda Nabi Muhammad SAW, berserta segenap keluarga dan sahabat-Nya. Berkat beliaulah penulis dapat merasakan nikmatnya iman dan nikmatnya islam.

     Penulis mengucapkan terima kasih kepada dosen pengampu dan teman-teman atas masukan dan bantuan sehingga penulis dapat menyelesaikan makalah ini. Semoga makalah ini dapat dijadikan sebagai bahan pertimbangan dan bahan renungan untuk kita semua.

         Langsa, 6 Maret 2019

                                                                                                        

                                                                                                            penulis

  

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Salah satu karya Aristoteles adalah logika yang banyak berisi: pengertian, keputusan, pembuktian silogisme, dan lain-lain. Inti ajaran Aristoteles mengenai logika adalah Syllogismus, yaitu keputusan kedua yang tersusun sedemikian hingga melahirkan keputusan yang ketiga. Logika yang dikemukakan oleh Aristoteles dikenal sebagai logika tradisional, yang menjadi tonggak pemikiran logika.

Pada abad ke-18 Masehi, G.W. Leibniz, seorang ahli matematika berkebangsaan Jerman, pertama kali mempelajari logika simbolik. Ahli matematika lainnya yang berjasa dalam pengembangan logika simbolik adalah George Boole, Leonard Euler, John Venn, dan Bertrand Russel.

Melalui logika kita dapat mengetahui kebenaran suatu pernyataan dari suatu kalimat dan mengetahui apakah pernyataan pertama sama maknanya dengan pernyataan kedua. Misalkan, apakah pernyataan “Jika sekarang adalah hari Minggu maka sekolah libur.” sama artinya dengan “Jika sekolah libur maka sekarang adalah hari Minggu.”? Untuk menjawab pertanyaan ini tentu kita perlu mengetahui aturan-aturan dalam logika. Contoh lain, misalkan ada dua pernyataan “Jika anak pandai maka ia berprestasi di kelas. Jika ia berprestasi di kelas maka ia disayangi guru-gurunya.” Lalu, apakah dari dua pernyataan ini kita dapat menyimpulkan “Jika ia anak pandai maka ia disayangi guru-gurunya.”?

Banyak hal yang perlu kita ketahui mengenai logika. Dengan logika, kita juga dapat mengetahui apakah suatu pernyataan bernilai benar atau salah. Hal terpenting yang akan didapatkan setelah mempelajari logika matematika adalah kemampuan atau keahlian mengambil kesimpulan dengan benar atau sah. Logika matematika memberikan dasar bagi sebuah pengambilan kesimpulan dan dapat digunakan dalam banyak aspek kehidupan.

B. Rumusan masalah

     Adapun rumusan masalah pada makalah ini yaitu:

1.      Apa pengertian logika matematika?

2.      Apa itu pernyataan?

3.      Bagaimana operasi dalam logika dan tabel kebenaran?

4.      Bagaimana bentuk-bentuk pernyataan?

5.      Apa itu konvers,invers,dan kontroposisi?

6.      Apa itu menarik kesimpulan/inferensi?

C. Tujuan penulis

      Adapun tujuan penulis adalah sebagai berikut:

1.      Untuk mengetahui pengertian logika matematika.

2.      Untuk mengetahui pernyataan.

3.      Untuk mengetahui operasi dalam logika dan tabel kebenaran.

4.      Untuk mengetahui bentuk-bentuk  pernyataan.

5.      Untuk mengetahui konvers,invers, dan kontroposisi.

6.      Untruk mengetahui menarik kesimpulan/inferensi.

D. Manfaat penulisan

      Adapun manfaat penulisan makalah ini adalah sebagai berikut:

1.      Sebagai bahan pertimbangan dalam memahami mata kuliah ini.

2.      Sebagai acuan untuk memahami logika matematika.

3.      Untuk mengajak agar terciptanya masyarakay yang minat dalam membaca.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Pengertian Logika Matematika

     Logika matematika atau logika simbol ialah logika yang menggunakan bahasa matematika yaitu dengan menggunakan lambang-lambang dan simbol-simbol. Adapun keuntungannya yaitu: ringkas, univalent(tunggal), dan universal (luas).

B. Pernyataan

     Pernyataan adalah kaliamat yang mempunyai nilai benar atau salah. Tetapi tidak sekaligus benar dan salah (pernyataan disebut juga proposisi, kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya. Istilah-istilah lain dari pernyataan adalah kaliamat matematika tertutup, kalimat tertutup, kalimat deklaratif, statement atau proposisi.

   Contoh:

1.      Alquran adalah sumber hukum pertama umat islam.

2.      4 + 3 = 8

3.      Rapikan tempat tidur mu!

    Pembahasan

1.      Bernilai benar

2.      Bernilai salah

3.      Tidak mempunyai nilai benar ataupun salah, sehingga bukan pernyataan.

·         Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah kaliamat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena masih mengandung peubah (variabel).

  Contoh:

a)      2x + 5 = -20

b)      Apa nilai X untuk 4x – 3 = 9

·         Pernyataan Majemuk

Pernyataan majemuk adalah suatu pernyataan baru yang diperoleh dari penggabungan dengan beberapa pernyataan tunggal dengan kata penghubung kalimat tertentu, yaitu, dan, atau, tetapi, jika, maka, jika dan hanya jika, dan lain-lain.

  Contoh:

a)      Jika musim hujan, maka di Jakarta terjadi banjir.

b)      Sepeda motor merupakan alat trasportasi dan banyak di gunakan orang.

C. Operasi Dalam Logika dan Tabel Kebenaran

      Operasi dalam matematika yaitu penggabungan pernyataan-pernyataan tunggal yang menghasilkan pernyataa-pernyataan majemuk. Operasi-operasi yang dapat kita temui berupa kata sambung logika.

1.      Ingkaran (negasi)

   Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan baru yang dibentuk dari suatu pernyataan awal sehingga nilai kebenarannya berubah. Ingkaran atau negasi dari suatu pernyataan dapat dilambangkan dengan P atau ~P. Jika pernyataan P benar maka negasi P salah, jika negasi P salah maka P benar.

 Contoh 1

a.       P: Indonesia mempunyai ragam suku bangsa (benar)

b.      ~P: Indonesia tidak mempunyai ragam suku bangsa (salah)

c.       Atau ~P: Tidak benar indonesia mempunyai ragam suku bangsa (salah)

              Contoh 2

a.       P: hari ini tidak ada ulanagn matematika (benar)

b.      ~P: hari ini ada ulangan matematika (salah)

c.       Atau ~P: benar hari ini ada ulangan matematika (salah)

Tabel kebenaran ingkaran atau negasi

P	~P
B	S
S	B

2.      Konjungsi (p^q)

   Konjungsi dari pernyataan p dan i adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari pernyataan p dan i dengan kata penghubung dan dilambangkan dengan notasi ^ .

   Contoh 1

a.       P: Bunga mawar pasti berwarna merah (salah)

b.      q: hujan tidak akan terjadi di malam hari (salah)

c.       p^q: bunga mawar pasti berwarna merah dan hujan tidak akan terjadi dimalam hari (salah)

       

     Contoh 2

                  a.       p: persegi memiliki 4 segi (benar)

                  b.      q: 2 + 3 = 6 (salah)

                  c.       p^q: persegi memiliki 4 segi dan 2 + 3 = 6 (salah)

Tabel kebenaran konjungsi

p	q	p^q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

3.      Disjungsi

   Disjungsi dari pernyatan p^q adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari pernyataan p^q  dengan menggunakan kata penghubung atau dilambang kan dengan notasi “v” jika p^q dua pernyataan  maka pvq dibaca p atau q.

   Contoh 

a.       p: ada tujuh hari dalam seminggu (benar)

b.      q: Jakarta adalah ibu kota Jawa Timur (salah)

c.       P v q: Ada tujuh hari dalam seminggu atau Jakarta adalah ibu kota dari Jawa Timur (benar).

                        Tabel kebenaran kebenaran disjungsi

p	q	P v q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

4.      Implikasi

   Banyak pernyataan dalam komunikasi sehari-hari, tak kercuali dalam matematika yang merupakan pernyataan bersyarat. Ciri utama pernyataan ini adalah bentuk jika maka. Dalam implikasi p → q, p disebut antesedem (hipotesi) atau syarat cukup bagi q dan q disebut konsekuen atau syarat perlu bagi p. Seperti halnya konjungsi dan disjungsi, dalam implikasi juga tidak diharuskan adanya hubungan komponen-komponennya.

              Contoh 

a.       p: ada hewan berkaki empat (benar)

b.      q: lembu berkaki dua (salah)

c.       p→q: jika ada hewan berkaki empat, maka lembu berkaki dua (salah)

  

Tabel kebenaran implikasi

p	q	p→q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

5.      Biimplikasi

   Dalam logika matematika, pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan dengan kata penghubung jika dan hanya jika dengan menggunakan lambang/notasi <=> (jika dan hanya jika). Pada biimplikasi jika p<=>q, p disebut syarat perlu dan cukup bagi p, dan q syarat perlu dan cukup bagi p.

   Contoh 1

a.       P: manusia dapat hidup (benar)

b.      q: ada oksigen (benar)

c.       p<=>q: manusia dapat hidup jika dan hanya jika ada oksigen

   Contoh 2

a.       p: semua bilangan prima ganjil (salah)

b.      q: 7 termasuk bilangan prima (benar)

c.       p<=>q: semua bilangan prima ganjil jika dan hanya jika 7 termasuk bilangan prima (salah)

Tabel kebenaran biimplikasi

p	q	p<=>q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

 

D. Bentuk-bentuk Pernyataan

      Bentuk bentuk pernyataan dalam logika dapat dibedakan sebagai berikut:

1.      Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah bagaimanapun kemungkinan nilai kebenaran dari komponen-komponennya.

2.      Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar bagaimanapun kemungkinan nilai kebenaran dari komponen-komponennya.

3.      Sontingensi, suatu bentuk pernyataan majemuk yang bukan kontadiksi maupun tautologi.

4.      Ekuivalen adalah dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen jika kedua pernyataan majemuk mempunyai nilai kebenarannya yang sama. Notasi ekuivalen “≡”

Contoh 1

Periksakan apakah ~(pvq)^p tautologi, kontradiksi, bukan tautologi atau bukan kontradiksi

p	q	p^q	~(p^q)	Pv~(p^q)
B	B	B	S	S
B	S	B	S	S
S	B	B	S	S
S	S	S	B	S

  

Contoh 2

Selidiki apakah ~(p^q) ≡ (~pv~q) ekuivalen !

p	q	~p	~q	p^q	~(p^q)	~pv~q
B	B	S	S	B	S	S
B	S	S	B	S	B	B
S	B	B	S	S	B	B
S	S	B	B	S	B	B

                                                                                       

E. Konvers, Invers dan Kontroposisi

    Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan pernyataan-pernyataan baru yangdisebut invers, konvers, dan kontraposisi.

·         jika suatu bentuk implikasi p→q diubah menjadi q→p disebut konvers

·         jika suatu bentuk implikasi p→q diubah menjadi ~p ~q disebut invers

·         jika suatu bentuk implikasi p→q diubah menjadi ~q → ~p disebut kontraposis

Skema konver, invers, dan kontraposisi

Tabel kebenaran implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi

p	q	~p	~q	implikasi p→q	konvers q→p	invers ~p→~q	kontraposisi ~q→~p
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	B	S
S	B	B	S	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B	B	B

Contoh :

Implikasi : jika binatang itu bertubuh besar maka binatang itu disebut gajah.

Konvers : jika binatang itu disebut gajah maka binatang itu bertubuh besar.

Invers : jika binatang itu tidak bertubuh besar maka binatang itu bukan gajah.

Kontraposisi : jika binatang itu bukan gajah maka binatang itu tidak bertubuh besar.

F. Menarik Kesimpulan (Inferensi)

1.      premis dan argumen

   Premis adalah pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan, sehingga suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau pernyatan yang sudah dibuktikan.

   Sedangkan argumen adalah kumpulan kalimat yang terdiri dari satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti (evidence) dan satu konklusi. Konklusi ini selayaknya diturunkan dari premis-premis.

  Aturan penyimpulan

a.  Modus ponen

Premis 1 : p→q

premis 2 : p

premis 3 : q

Contoh :

      jika 20 habis dibagi 2, maka 20 adalah bilangan genap

      20 habis dibagi 2

        20 adalah bilangan genap

b. Modus tolen

Premis 1 : p

Premis 2 : ~q

konklusi : ~p

Contoh :

      Jika n bernilai ganjil, maka  bernilai ganjil

       bernilai ganjil

        n bukan bilangan ganjil

c. Silogisma

Premis 1 : p  q

premis 2 : q => r

konklusi : p => r

Contoh :

     Jika seorang laki-laki adalah bujangan, maka ia tidak bahagia

     Jika laki-laki tidak bahagia, maka ia berumur pendek

      para bujangan berumur pendek

d. Silogisma dijungtif

Premis 1 : pvq

Premis 2 : ~q

Konklusi : p

Contoh :

      Saya belajar dengan giat atau saya menikah tahun depan

      Saya tidak belajar

       saya mau menikah tahun depan

e.  Konjungsi

Premis 1 : p

Premis 2 : q

Konklusi : p^q

Artinya : p benar, q benar maka p^q benar

Contoh :

     Jono mengambil mata kuliah  analisis real

     Jono mengulang kuliah matematika diskrit

      jono mengambil kuliah analisis real dan mengulang kuliah matematika

        Diskrit

f.  Tambahan (addition)

Premis 1 : p

Konklusi : pvq

artinya : p benar maka pvq benar (tidak peduli nilai benar atau nilai yang dimiliki q)

Contoh :

     Jini mangambil kuliah analisis real

      jini mengambil kuliah analisis real dan mengulang statistik pendidikan

g. Simplifikasi

Premis 1 : p^q

Konklusi : p

Contoh :

      Tika mahasiswa UNIB dan mahasiswa UI. Karna itu, tika adalah mahasiswa UNIB

Menggunakan simplikasi dapat juga ditulis dengan cara

      Tika adalah mahasiswa UNIB dan mahasiswa UI

       tika adalah mahasiswa UNIB

Simplikasi berikut juga benar

      Tika adalah mahasiswa UNIB dan mahasiswa UI

       tika adalah mahasiswa UI

BAB III

PENUTUP

A. Kesimpulan

      Logika adalah sebuah metode dan prinsip-prinsip yang dapat memisahkan secara tegas antara penalaran yang benar dengan penalaran yang salah.Dalam mempelajari logika matematika pasti berhubungan dengan istilah pernyataan, kalimat majemuk dan ingkaran. Pernyataan-pernyataan majemuk diantaranya adalah sebagai berikut: 1. Konjungsi, kata hunbungnya “dan” dilambangkan dengan “⋀”. 2. Disjungsi, kata hunbungnya “atau” dilambangkan dengan “⋁”. 3. Implikasi, kata hunbungnya “Jika ... maka ...” dilambangkan dengan “→”. 4. Biimplikasi, kata hunbungnya “... jika dan hanya jika ...” dilambangkan dengan “↔”.Di dalam logika matematika terdapat beberapa jenis operasi yang digunakan, diantaranya yaitu operasi konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi.Ada tiga jenis cara penarikan kesimpulan dalam logika matematika, diantaranya adalah sebagai berikut: 1. Dengan Modus Ponen. 2. Dengan Modus Tollens. 3. Dengan Silogisme.Untuk membuktikan kebenaran dari suatu pernyataan dapat dilakukan dengan tiga cara yaitu:1. Pembuktian dengan bukti langsung. 2. Pembuktian dengan bukti tidak langsung.3. Pembuktian dengan induksi matematika.

B. Saran

     Dengan penyusunan makalah ini, penulis berharap pengetahuan mengenai logika matematika dapat diaplikasikan dalam kehidupan atau dapat digunakan dalam banyak aspek kehidupan. Melalui logika, kita dapat mengetahui apakah suatu pernyataan bernilai benar atau salah. Hal terpenting yang akan didapatkan setelah mempelajari logika matematika adalah kemampuan atau keahlian mengambil kesimpulan dengan benar atau sah.

DAFTAR PUSTAKA

Wibisono, Samuel. 2004. Matematika Diskrit. Yogyakarta: Graha Ilmu.

Lipschutz, Seymour dan George G. hall. 1988. Matematika Hingga. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Wirodikromo, Sartono. 2006. Matematika untuk SMA Kelas X. Jakarta: Penerbit Erlangga.

Kurnianingsih, Sri dkk. 2001. Matematika untuk SMA Kelas X. Jakarta: Penerbit Erlangga.